Am Ende leuchten 10 Lichter und zwar die Nummern 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100. Offenbar leuchten also genau diejenigen Lichter, deren Nummer eine Quadratzahl ist. Aber warum?
Während des Experiments werden die Lichter zuerst alle angeschaltet. Dann kommt eine Person und schaltet alle mit gerade Nummern aus. Die nächste Person betätigt alle, deren Nummer ein Vielfaches von 3 ist und schaltet dabei einige ein und andere aus, je nachdem, wie ihr Zustand vorher war. Und so weiter…
Die Lampen werden also unterschiedlich oft an und ausgeschaltet. So sieht es aus der Perspektive der Personen aus, die die Schalter betätigen.
Aus der Perspektive eines Kippschalters ist es so: Er wir von all den Leuten gedrückt, deren Nummer ein Teiler seiner Nummer ist.
Z.B. Schalter Nr. 12: 12 ist teilbar durch 1,2,3,4,6 und 12.
Person 1 drückt ihn: an
Person 2 drückt ihn: aus
Person 3 drückt ihn: an
Person 4 drückt ihn: aus
Person 6 drückt ihn: an
Person 12 drückt ihn: aus
Wie kommt es dazu, dass eine Lampe am Ende eingeschaltet bleibt?
Das geschieht genau dann, wenn am Ende des Experiments eine ungerade Zahl von Leuten den Schalter gedrückt hat. Seine Nummer muss also eine ungerade Zahl von Teilern haben.
Z.B. bei der Nr. 4. Sie ist teilbar durch 1, 2 und 4 (ein-aus-ein).
Person 1 drückt ihn: an
Person 2 drückt ihn: aus
Person 4 drückt ihn: an
Wann hat eine Zahl eine ungerade Anzahl von Teilern?
Nur dann, wenn bei der Auflistung ihrer Teiler nicht nur Paare vorkommen, sondern auch eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert unsere Zahl ergibt. Unsere Zahl muss also eine Quadratzahl sein.
So bei der Vier:
1×4=4
4×1=4
1 und 4 sind ein Teilerpaar. Beim Ein- und Ausschalten heben sie sich (rechnerisch) gegenseitig auf. Person 1 schaltet ein, Person 4 schaltet wieder aus.
2×2=4
2 und 2 sind kein Paar, sondern nur die eine Zahl 2, weil es nur eine Person mit der Nr. 2 gibt. Für die Zahl 2 kann der Schalter nur einmal betätigt werden. Die Lampe bleibt also am Ende des Experiments an.